같은 것이 있는 순열

[같은 것이 있는 순열]

같은 것이 있는 순열의 수 또는 순서가 정해진 순열의 수를 알아보자.

대진표 구하기부터 말하고 있지만 경우의 수를 구하는 요령중에 하나는

모든 경우의 수를 구해준 뒤 중복되는 (같은 것은) 나누어 주는 것이다.

같은 것이 있는 순열도 같은 원리가 적용된다.

2016/03/26 - [수학 스터디] - [수학 스터디] 대진표 경우의 수 (1)

2016/03/28 - [수학 스터디] - [수학 스터디] 대진표 경우의 수 (2)

먼저 아래 예시를 하나 살펴보자.

1, 1, 2, 세개의 숫자를 일렬로 배열하는 순열의 수 이다.

두개의 1을 구분하기 위해 첨자로 a,b를 붙여주었다.

먼저 숫자가 3개이므로 일렬로 세우는 경우의 수는 3!이 된다.

그러나 위 그림에서 볼 수 있듯이 6가지 경우의 수 중에서 오른쪽에 있는 경우는

왼쪽과 같은 경우의 수이다. (1이 같은 수 이므로)

따라서 오른쪽을 삭제해주면 (2!로 나누어주면) 경우의 수는 3이된다.

이를 문자를 이용하여 일반화 시켜주면 아래와 같다.

같은 원리로 순서가 정해진 순열의 수도 구해보도록 하자.

예시로 1,2,3을 일렬로 세울 때 1,2의 순서가 정해져있다고 가정해보자.

그러면 경우의 수는 아래와 같다.

역시 3개의 숫자를 일렬로 세우는 경우의 수는 3!이지만

1,2의 순서는 정해져있는 경우의 수 이므로 우변은 삭제해야한다.

이 또한 문자를 사용하여 일반화해보자.

 

다시 한번 강조하지만 요령은 중복되는 경우의 수를 삭제해주는 것이다.

같은 것이 있는 순열일 때의 공식을 외운다고 생각하지 말고

어떤 원리로 공식이 만들어졌는 지를 이해해야 변형된 문제를 풀 수 있다.