등비 수열 합공식

[등비 수열 합 공식]

등비 수열 합 공식에 대해 알아보자.

기본적으로 등비 수열은 이전 항에 일정한 값(r)을 곱하여 만들어진 수열을 말한다.

예를 들자면 3 9 27 81 243 ~ , 즉 일정한 값 (3) 을 차례대로 곱하여 만들어진 수열이다.

그렇다면 등비 수열의 합을 어떻게 구하는 지 알아보자.

공비가 3이고 10항까지 있는 수열의 합은 Sn으로 정의하였다.

곱해지는 수가 2만 돼도 어떻게 암산으로 해보겠지만

3 이상이 되는 순간 81만 넘어가도 계산이 어려워진다.

결국 등차 수열의 합을 계산할 때처럼 식의 단순화가 필요하고 아래와 같다. (양변의 3을 곱해준다.)

3Sn을 구하면 위와 같다. 첫항은 3^2이 됐고 마지막항은 3^11 며 공비는 여전히 3인 수열이 된다.

이걸 어떻게 활용을 할까 눈을 크게 뜨고 살펴보면

Sn과 3Sn에 공통으로 3^2부터 3^10까지가 포함되어 있음을 알 수 있다. 그렇다면? (두 수열을 빼주자)

 

위와 같이 두 수열을 빼주면 중간항들은 전부 없어지고 첫항과 마지막항만 남게된다. (3^11은 원하는 사람만 계산해보자..)

예를 들어봤으니 공식화하기 위하여 일반항으로 정리해보자

첫항이 a 공비가 r인 수열을 Sn 으로 정의하고

위에서 했던 양변에 공비 곱하여 빼기를 해보자.