수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1

[수직인 두 직선의 기울기의 곱]

수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1을 증명해보자.

이전 포스팅에서 문제를 풀기 위해 꽤 자주 수직인 두 직선의 기울기를 이용해왔다.

당연한 듯이 그 값을 -1로 놓고 계산해왔지만

이제 왜 이러한 공식이 성립하는지 알아보자.

상용로그는 여러 방법이 있지만 다음과 같은 방식으로 이해하는 게 가장 직관적일 거라 생각한다.

먼저 직교한 두 직선을 그려보자.

편의를 위해서 원점을 지나는 직선 y=mx를 설정하였고

그에 수직하는 직선을 그려  y=nx+k로 두었다.

우리의 최종 목적은 mn의 값을 구하는 것이다. (k 값은 중요치 않다.)

먼저 아래처럼 만나는 점에서 x축으로 선을 하나 긋고 각변의 길이를 보자.

편의상 아래 빨간변의 길이를 1로 설정해보면

우리가 새로 그은 파란선의 길이는 m이 된다. (기울기가 m인 직선이므로)

그리고 초록색 선의 길이만 구할 수 있으면 우리는 기울기 n을 구할 수 있다.

초록샌 선의 길이는 아래 닮음을 이용해보자

위처럼 빨간색 삼각형과 파란색 삼각형은 같은 각도를 가지므로 닮음이다.

따라서 우리가 구하려했던 초록색 선, 즉 ?의 길이는 m^2이 됨을 알 수 있다.

결국 우리는 필요한 모든 선분의 길이를 알았고 아래와 같이 mn의 값을 구하면

위와 같이 수직인 직선의 기울기 n을 -1/m 으로 구할 수 있고

mn의 값은 -1이 된다.

즉 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1이다.