독립사건과 배반사건의 차이

[독립사건과 배반사건의 차이]

독립사건과 배반사건의 차이를 알아보자.

우리가 자주 마주치는 단어이기도 하고 비슷하기 때문에 헷갈릴 수 있지만

독립사건과 배반사건은 서로 전혀 연관이 없는 개념이다. 

1. 독립 사건 : 서로 영향을 미치지 않는 사건

2. 배반 사건 : 서로 동시에 일어날 수 없는 사건 (교집합이 공집합)

영향을 미치지 않는 것과 동시에 일어날 수 없는 것

이것이 어떻게 다른 개념인지는 예를 통해서 알아보자.

먼저 쉬운개념의 배반 사건부터 예를 들어보자.

주사위를 던졌을 때 전체집합 = U

홀수가 나오는 사건 = A

짝수가 나오는 사건 = B

위를 그림으로 표현하면 다음과 같다. 

위 그림과 같이 겹치는 부분이 없다.

의미로 생각해보면 홀수와 짝수가 동시에 나올 수는 없으므로 이는 배반사건이며

수식으로 살펴보면 P(A∩B) 는 공집합인 것이 배반사건이다. 

이해를 돕기위해 배반사건이 아닌 경우도 살펴보자.

홀수가 나오는 사건 = A

3이하의 수가 나오는 사건 = B

위와 같이 1,3은 홀수이기도 하고 3이하의 수 이기도 하다.

즉 교집합인 부분이 존재하는 것이다. 

이런 경우가 배반사건이 아닌 경우이다. 

이렇게 배반사건은 수식으로도 쉽고 의미로도 이해하기 어렵지 않다. 

그렇다면 다음으로 독립사건을 알아보자.

독립사건은 서로 다른 사건으로 설정하면 이해는 쉽다.

주사위를 두번 던진다고 설정을 하면 

첫번째 주사위에서 홀수가 나오는 사건과

두번째 주사위에서 홀수가 나오는 사건은 전혀 상관이 없다.

의미상으로 생각해보기에도 서로 아무영향이 없는 사건이며 실제로 수식으로 풀어 확률로도 영향이 없다.

그런데 배반사건의 경우처럼 주사위 하나를 던질때의 사건을 놓고

예를 들거나 문제가 나오기 시작하면 헷갈리기 시작한다. 

영향이 없는 건가? 영향을 미치는가?

배반사건의 첫 예로 들었던 아래 사건을 살펴보자.

주사위를 던졌을 때 전체집합 = U

홀수가 나오는 사건 = A

짝수가 나오는 사건 = B

그림으로 보기에 공집합이 없으니 마치 독립사건인 것 같다. 

또는 의미상으로 생각해보기에 홀수가 나오는 것과 짝수가 나오는 사건은 상관이 없어 보인다.

상관이 없다? → 독립사건 인것 같다.

하지만 독립사건의 의미는 그게 아니다. 

A가 일어나지 않았을때와 A가 일어났을 때 B사건 확률에 대해 영향이 없어야한다. 

다시 말하면 단순히 B가 일어날 확률 → 1/2 (1,2,3,4,5,6 중에 2,4,6)

A가 일어났을 때 B가 일어날 확률 → 0  (홀수중에 짝수가 없으니 당연히.., 1,3,5중에 0)

위 두 경우에 확률이 다르다는 것은 영향이 있다는 것이다. 즉 독립이 아닌다 (종속이다.)

두번째 예도 독립인지 아닌지 판단해보자.

홀수가 나오는 사건 = A

3이하의 수가 나오는 사건 = B

단순히 B가 일어날 확률 → 1/2 (1,2,3,4,5,6 중에 1,2,3)

A가 일어났을 때의 B가 일어날 확률 → 2/3 (1,3,5 중에 1,3)

이 경우에도 B가 일어날 확률이 달라진다. 

이는 역시 독립이 아니다.

그럼 마지막으로 독립인 케이스를 하나 만들어보자. 

홀수가 나오는 사건 = A

3의 배수가 나오는 사건 = B 

단순히 B가 일어날 확률 1/3 (1,2,3,4,5,6 중에 3,6)

A가 일어났을 때의 B가 일어날 확률 1/3 (1,3,5 중에 3)

이처럼 A가 일어났을 때와 일어나지 않았을때 B의 확률이 동일한 경우

즉 A가 일어나든 말든 B의 확률에 상관이 없는 경우를 독립사건이라고 한다.

의미는 이렇게 이해하시고 문제 풀때는 이런 개념을 떠올리면서

그냥 P(A∩B) = P(A) × P(B) 이면 독립사건으로 검증하셔요..