정육면체 색칠하는 경우의 수

[정육면체 색칠하는 경우의 수]

정육면체 색칠하는 경우의 수를 알아보자.

정육면체 경우의 수를 구할 때는 일단 처음 한면을 설정하고 시작한다. 

그리고 이 처음 설정하는 면은 이해하기 쉽기 위해서 대체로 윗면으로 정한다.

이번에도 역시 윗면을 먼저 정해보자.

우리는 총 6개의 색을 가지고 있습니다. 

편의상 숫자로 표현하여 1,2,3,4,5,6이라고 설정하겠습니다. 

위처럼 윗면을 칠하는 경우의 수는 총 6가지 입니다. 

그러나 정육면체의 특성상 어느방향으로 돌려도 그 모양이 같습니다.

대진표 경우의 수를 구할 때 해봤듯이 경우의 수를 구할 떄

같은 모양은 나눠주는 게 맞습니다.

2016/03/26 - [수학 스터디] - [수학 스터디] 대진표 경우의 수 (1)

2016/03/28 - [수학 스터디] - [수학 스터디] 대진표 경우의 수 (2)

  -원순열이라고 이해하시면 될것 같습니다. a,b,c 세문자를 원순열로 경우의 수를 따져보면

 a,b,c / b,c,a / c,a,b 가 같은 경우의 수 이듯이 순서만 같으면 같은 경우의 수입니다. 

그래서 세문자를 나열할 경우 3으로 나눠주는 작업을 거칩니다.

같은 개념으로 이 경우에는 6으로 나눠준다고 생각하시면 됩니다. 

- 위처럼 6 X 1/6 이라는 소모적인 과정을 거치지 않기위해 윗면을 고정하고 시작하는 방법도 있습니다. 

  1이라는 색으로 윗면을 칠하고 정육면체가 회전하지 않게 윗면이 고정되어 있다고 

  생각하는 방식입니다. 

- 그래도 이해가 안된다면 아래 그림을 보세요.

곰곰히 생각해보셔서 이해하고 넘어가셔야 합니다.

회전을 감안하든 아니면 고정한다고 생각하시든 결정하신 후에 

이제는 옆면을 칠해줘야 합니다. 

윗면에 색깔하나 썼으니 우리에게 남은 색은 5가지이고 옆면은 총 4개면을 칠해줘야 합니다. 

 

예를 들어 위와 같이 윗면을 1이라는 색으로 고정했으면

나머지 2,3,4,5,6 다섯가지 색 중에서 옆면으로 쓸 4가지 색을 골라 나열하면 됩니다. 

그후 역시 4방향 회전이므로 4로 나누어 주면 총 경우의 수를 구할 수 있습니다.

마지막으로 식을 정리해보겠습니다. 

이와 같이 총 경우의 수는 30이 나옵니다. 

잘못된 점이 있거나 이해안가는 부분이 있으시면

댓글 달아주셔요~