중복조합 공식

[중복조합 공식]

중복조합 공식에 대해 알아보자.

순열에도 있는 중복순열의 경우는 따로 다루지 않았다.

공식 또한 중복되는만큼 거듭제곱을 해주면되고 의미또한 단순하기 때문에

책만 보더라도 이해하는데 큰 무리가 없기때문이다.

하지만 이번에 포스팅할 중복조합이라는 녀석은 원리가 쉽지않다.

먼저 표현 방식부터 살펴보자.

중복조합은 H로 표시하고 이는 Homogeneous product의 약자이다.

의미는 서로 다른 세개 예를들면 a,b,c에서 중복을 허용하여 4개를 선택하는 것이다. (ex, abcb)

이제껏 해왔던 순열, 조합과 다르게 중복을 허용하므로

선택지의 개수보다 선택하는 개수가 더 클수도 있다. (뒤에 오는 수가 클 수 있다.)

그러면 실제로 그 결과값을 구하는 원리는 무엇일까.

조합이므로 문자간의 순서는 상관이 없고 각 문자들이 몇개나 뽑혔는지가 중요하다.

즉 a,a,b,c 와 a,b,c,a는 같은 경우의 수이고 중요한 것은 a가 2개, b,c가 한개씩이라는 사실이다.

이런 경우의 수를 구하는 방식을 아래와 같이 생각해보자.

위와 같이 바구니에 공을 담는 다고 생각하자.

우리는 4개를 선택해야 하므로 공 4개를 주어줬는데 

이 공은 각각 A구역, B구역, C구역에 담을 수 있고 담는 순간 A,B,C문자로 변한다.

예를 들어 A구역에 3개, B구역에 1개를 담으면 이는 3개의 문자 중에 A 3개, B 1개를 뽑느 것과 같다.

즉 이 공4개를 바구니에 담는 경우의 수를 구하면 된다. 

어떻게 구할 수 있을지 살펴보자.

위와 같이 우리에게 주어진 공4개와 칸막이 2개를 배열하면 된다.

이는 이전에 포스팅했던 같은 것이 있는 순열을 이용하여 계산하면되고

이렇게 배열해주면 칸막이와 공의 위치에 따라 A,B,C가 각각 몇개인지 결정되게 된다.

2016/06/07 - [수학 개념정리/확률과 통계 개념정리] - 같은 것이 있는 순열

마지막으로 이렇게 구한 결과를 문자로 일반화해보자.

위와 같이 공식으로 외워도 좋고

같은 것이 있는 순열의 원리를 이용하여 직관적으로 풀어도 좋다.

둘 다 기억해주다.